Progressão Aritmética – Ex.Resolvidos-1

EX-01

Determinar x para que os números x², (x+2)² e (x+3)² formem, nesta ordem um PA.

Solução:

(x+2)² - x² = (x+3)² - (x+2)² → (x²+4x+4) – x² = (x²+6x+9) – (x²+4x+4) →

4x+4 = 2x + 5 → 2x = 1 → x = 1/2

Vamos verificar:

x = 1/2;

a₁ = x² = (1/2)² = 1/4 → a₁ = 1/4

a₂ = (x+2)² = (1/2+2)² = 25/4 → a₂ = 25/4

a₃ = (x+3)² = (1/2+3)² = 49/4 → a₃ = 49/4

(1/4, 25/4, 49/4) é uma PA de razão r=6

EX-02

Calcular o 8º, o 20º e o 32º elemento da PA cujo primeiro elemento é 1 e cuja razão é 3.

Solução:

Fórmula do termo geral:

n = 8 → a₈ = 1 + (8 – 1).3 = 22 → a₈ = 22

n = 20 → a₂₀ = 1 + (20 – 1).3 = 58 → a₂₀ = 58

n = 32 → a₃₂ = 1 + (32 – 1).3 = 94 → a₃₂ = 94

EX-03

Obter o primeiro termo de uma PA de 110 termos, sabendo que o último termo é 1120 e a razão é –5.

Solução:

Dados:

a₁₁₀=1120

r = - 5

E sabemos que:

Portanto,

1120 =  a₁ +(110 – 1).(-5) → a₁ = 1120 + 545 = 1665 → a₁ = 1665

EX-04

Na PA em que o 15º termo é - 2 e o 19º é + 32, qual é o 14º termo?

Solução:

O melhor processo para obter qualquer elemento de uma PA é antes obter a₁ e r.

n = 15 → a₁₅ = a₁ + 14r  →  a₁ + 14r = - 2        (I)

n = 19 → a₁₉ = a₁ + 18r  →  a₁ + 18r = + 32     (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), encontramos:

r  = 17/2  e  a₁ =  - 121

Basta agora aplicar a fórmula do termo geral:

n = 14 → a₁₄ = - 121 + (14 – 1).(17/2) = -21/2 → a₁₄ = - 21/2

EX-05

Determinar a PA em que se verificam as seguintes propriedades:

a₁₀ + a₂₅ = 470  e  a₅ + a₁₆ =  330.

Solução:

Determinar a PA implica em obter a₁ e r:

Então,

a₁₀ + a₂₅ = 470  ↔ (a₁ + 9r) + (a₁ + 24r) = 470 ↔ 2a₁ + 33r = 470   (I)

a₅ + a₁₆ =  330 ↔ (a₁ + 4r) + (a₁ + 15r) = 330 ↔ 2a₁ + 19r = 330    (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), encontramos:

r  = 10  e  a₁ =   70

Portanto, a PA procurada é: (70, 80, 90, 100, 110, ...)

EX-06

Qual é o primeiro termo negativo da PA em que o 5º termo é 23 e 12º é – 40?

Solução:

Vamos, primeiramente, determinar a PA, determinando a₁ e r:

a₅ = 23 → (a₁ + 4r) = 23    (I)

a12 = (a₁ + 11r) = - 40      (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II), tem-se:

a₁ = 59  e  r = - 9

Seja a_p o primeiro elemento negativo da PA:

Então, tem-se que:  a_p < 0;

(a₁ + (p-1).r) < 0 → 59 + (p-1).(-9) < 0 → 68 < 9p   → p > 68/9 ≈ 7,5

Sendo p ε Z e p > 7,5, então:  p = 8

EX-07

Determinar três números em PA tais que sua soma seja – 21 e seu produto seja 224.

Solução:

É um problema típico para aplicação da sequência prática: [(x – r), x, (x + r)]:

Soma → - 21 = (x-r) + x + (x+r) → x = - 7

Produto → 224 = (x-r).x.(x+r) → (-7-r).(-7).(-7+r) = 224 → (r+7).(r-7) = 32 →

r² - 49 = 32 → r² = 81 ↔ r = 9, ou r = - 9

Portanto, obtemos 2 conjuntos de sequências que formam PA.

(r = 9  e  x = - 7) → (- 16, - 7, 2)

(r = - 9  e x = - 7) → (2, - 7, - 16)   

EX-08

Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo sabendo que eles estão em PA.

Solução:

O ângulo A = x + r = 90 (pelo enunciado) → x + r = 90 (I)

E sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, portanto,

(x-r) + x + (x+r) = 180 → 3x = 180 → x = 60  (II)

Substituindo (II) em (I): → 60 + r = 90 → r = 30

Portanto, os ângulos procurados são: 30º, 60º e 90º

EX-09

Determinar três números em PA de razão unitária de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.

Solução:

Sejam três números da seguinte forma: (x – 1), x, (x + 1), pois, r = 1.

Então, temos:

(x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ = [(x-1)+x+(x+1)]² → (x³-3x²+3x-1)+x³+(x³+3x²+3x+1) = (3x)²  → 3x³ + 6x = 9x²  → 3x³ - 9x² + 6x = 0  → x³ - 3x² + 2x = 0 →

x(x - 1)(x - 2) = 0  → x = 0, ou x = 1, ou x = 2

Portanto,

x = 0 → ( -1, 0, 1)

x = 1 → ( 0, 1, 2 )

x = 2 → (1, 2, 3)

EX-10

Determinar quatro números inteiros e positivos em P.A. sabendo que o produto do 1º pelo 4º é 45 e o produto do 2º pelo 3º é 77.

Solução:

Adotemos 4 números da seguinte forma em P.A.:

(x - 3y), (x - y), (x + y), (x + 3y)

Logo,

(x - 3y)(x + 3y) = 45 → x² - 9y² = 45   (I)

(x - y)(x + y) = 77 → x² - y² = 77   (II)

Resolvendo o sistema de equações (I) e (II):

Por exemplo, por método da adição:

x² = 81 → x = 9, ou x = - 9 e

y² = 4 → y = 2, ou y = - 2

Então temos as seguintes combinações:

x = 9 e y = 2 → (3, 7, 11, 15)

x = 9 e y = - 2 → (15, 11, 7, 3)

x = - 9 e y = 2 → (- 15, - 11, - 7, - 3)

x = - 9 e y = - 2 → (- 3, - 7, - 11, - 15)

Mas, o enunciado pede números inteiros e positivos, então:

Resposta:  (3, 7, 11, 15)