PROBABILIDADE

É a parte da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos que dão os resultados prováveis ou chances de determinado resultado ocorrer. Em outras palavras, é um conceito matemático que permite a quantificação da incerteza. É aquilo que torna possível de se tratar os problemas aleatórios de forma racional.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral (ou Conjunto Universo)

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S.

Evento

Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento. 

Conceito de Probabilidade (Clássico, ou Priori)

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.

Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Exemplos:

a) Lançamento de um dado (sem vício). Seja A o evento que registra a saída par.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = total de 6 possibilidades

A = {2, 4, 6} = 3 possibilidades

b) Lançamento de uma moeda (sem vício). Seja A o evento que registra coroa.

S = {cara, coroa} = 2 possibilidades

      A = {coroa} = 1 possibilidade

     

     

Teorema

A probabilidade é um número real que varia de 0 a 1, em outras palavras, a probabilidade de um evento é sempre um número entre (probabilidade de evento impossível) e (probabilidade do evento certo):

                                    A e  são eventos complementares 

Demonstração:

Se A é um evento qualquer então:

Logo os números de elementos satisfazem à desigualdade:

Então:

 

Por outro lado temos:

Probabilidade de ocorrer a União de Eventos (ou Adição de Probabilidades)

Sejam eventos A e B, então:

 

Se houver elementos comuns a A e B, estes eventos estarão considerados nos cálculos de P(A) e P(B).  Para que sejam considerados uma só vez, subtraímos P(A∩B).

Exemplos:

1) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

Solução:

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:

A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:

B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo A∩B = {(4,3)}

Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção (A∩B), temos:

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:

2) Se dois dados, azul e branco, forem lançados simultaneamente, qual a probabilidade de sair 5 no azul ou 3 no branco?

Temos os seguintes eventos:

a)     Tirar 5 no azul é P(A) = 6/36 = 1/6

b)     Tirar 3 no branco é P(B) = 6/36 = 1/6

c)      P(A∩B) = 1/36

Portanto,

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

P(AUB) = 1/3

Outra maneira de pensar.

Seja S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos-se: n(S) = 6_*6 = 36 possibilidades.

Portanto,

P(azul 5 ou branco 3) =  6/36 + 6/36 – 1/36 = 11/36

Probabilidade de ocorrer a União de Eventos mutuamente exclusivos

Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).

Em outras palavras: 2 eventos são mutuamente exclusivos se, e somente se, A∩B = Ф.

Logo:  A∩B = Ф → P(A∩B) = 0

Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Portanto, se A e B dois eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

P(AUB) = P(A) + P(B)

Genericamente:

Sejam eventos E₁, E₂, E₃, E₄, ......, E_n, mutuamente exclusivos, então:

P(E₁ U E₂ U E₃  U.....U E_n) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) + ... + P(E_n)

Exemplo:

Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5? 

Solução

P(3) = 1/6

P(5) = 1/6

Como os dois eventos são mutuamente exclusivos, temos:

P(3U5) = P(3) + P(5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 

Probabilidade Condicional

Definição:

Chama-se probabilidade condicional de A, relativamente a B, a probabilidade do evento A quando já se verificou o evento B. Indica-se  por P(A│B) e lê-se: a probabilidade de A sendo que deu B. 

É evidente que:

Ou ainda:

E decorre a principal conseqüência da definição:

P(A∩B)  =  P(B).P(A│B)  =  P(A).P(B│A)

Exemplo:

Um grupo de pessoas, em turismo, apresenta a composição dada pela tabela:

Pergunta-se: escolhido um homem do grupo, qual é a probabilidade que seja argentino?

A probabilidade de ser argentino homem deve ser escolhido no conjunto dos homens, portanto, o elemento procurado pertence ao conjunto A∩H e o conjunto universo (=espaço amostral), nesta operação, é H.

Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio da Multiplicação)

Teorema:

Se A, B e C são eventos independentes, então:

P(A∩B∩C) = P(A) _* P(B) _* P(C)

Em outras palavras:

Se uma decisão D₁ pode ser tomada de m modos e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D₂ pode ser tomada de n modos, então, o número de maneiras distintas de se tomar consecutivamente as decisões D₁ e D₂ é igual a m_*n.

Exemplos:

1) Luciana estava indecisa sobre qual combinação de roupa utilizaria para ir a uma festa. Ela tinha à sua disposição 2 saias nas cores preta e azul e 3 blusas nas cores rosa, verde e laranja.  Sabendo disso, de quantas formas diferentes Luciana pode escolher um conjunto composto por uma saia e uma blusa para ir à festa?

Solução

Há 2 possibilidades de saias (preta e azul) e

Há 3 possibilidades de blusas (rosa, verde e laranja)

Portanto, 2_*3 = 6 possibilidades para o conjunto.

2) Após o último dia de aula, os alunos do 9º ano combinaram de se encontrar em uma sorveteria para comemorar o início das férias.  A sorveteria dispunha 50 sabores diferentes, que podiam ser colocados em casquinha, ou copinho. Oferecia-se, como cortesia, uma cobertura, que podia ser de caramelo, morango ou chocolate. De quantas maneiras diferentes um aluno podia montar um sorvete contendo uma bola e uma cobertura?

Solução

Para resolver essa situação, vamos aplicar o Princípio Fundamental da Contagem.  São 3 decisões:

D1 = escolher o recipiente, ou seja, se casquinha ou copinho (2 opções);

D2 = escolher o sabor, entre 50 opções;

D3 = escolher a cobertura, que pode ser de caramelo, morango ou chocolate (3 opções)

Portanto, o número de possibilidades de um aluno escolher um sorvete da forma descrita é:

                                   2*50*3 = 300

3) Joga-se um dado e lança-se uma moeda. Qual é a probabilidade de obter os eventos “6 pontos”  no dado e “cara” na moeda?

Solução:

Chamando os eventos de A e B, respectivamente, é evidente que A e B são independentes, então:

P(A∩B) = P(B) _* P(B) = 1/6 _* 1/2 = 1/12

Lei Binomial de Probabilidade

Só é aplicável a uma experiência aleatória que obedeça às características seguintes:

a) A experiência deve ser repetida, nas mesmas condições, um número n pré-fixado de vezes;

b) Cada vez que a experiência é feita ocorre o evento A ou evento Â;

c) P(A) é constante em todas as n vezes;

d) Cada experiência é independente das demais.

Ilustração:

Consideremos uma experiência que se repete n vezes e que em qualquer delas tenhamos: 

Qual é a probabilidade do evento A ocorrer em i das n experiências?

Notamos que nas n experiências P(A) e P(A barra) são constantes e o resultado de cada experiência é independente dos resultados das anteriores; sendo assim, a probabilidade de obter i vezes o evento A e n-i vezes o evento (A barra), em qualquer ordem, é o produto das probabilidades, isto é:

Como convém ao problema qualquer conjunto ordenado de n elementos, sendo i iguais a A e (n-i) iguais a (A barra), não importando a ordem dos elementos, devemos calcular o número de conjuntos ordenados que satisfaçam (permutações de n elementos com i iguais a A e (n-i) iguais a (A barra)), isto é: 

E multiplicar este número pelo produto das probabilidades, obtendo:

Assim, chegamos a denominada LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADES.