Progressão Aritmética

Definição

Progressão aritmética (PA) é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com uma constante dada.

Assim, se a é o primeiro termo e a constante dada é r  (chamada razão), podemos definir a PA pela seguinte fórmula de recorrência:

Exemplos de PA:

1)     (2, 2, 2, 2, 2, ...); a₁ = 2 e r = 0

2)     (5, 4, 3, 2, 1, ...); a₁ = 5 e r = -1

3)     (1, 3, 5, 7, 9, ...); a₁ = 1 e r = 2

As progressões aritméticas, quanto ao número de termos, podem ser:

• Finitas – (1, 3, 5, 7)
• Infinitas – (5, 4, 3, 2, 1, ...)

As progressões aritméticas formadas somente por números reais podem ser:

a)     Crescentes (se cada termo é maior que o anterior)

b)     Constantes (se cada termo é igual ao anterior)

c)     Decrescente (se cada termo é menor que o anterior)

Teorema-1

Na progressão aritmética em que o primeiro termo é a₁ e a razão é r, o enézimo termo é:

Teorema-2

Em toda progressão aritmética finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Teorema-3

Em toda progressão aritmética finita com número ímpar de termos, o termo médio é a média aritmética dos extremos.

Fórmula para calcular a soma (S_n ) dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA).

E sabemos que:

Portanto, temos que:

Teorema-4

A soma dos primeiros n termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a₁ e cuja razão é r: