Ex-01
Jogamos dois dados sem vícios. Qual
é a probabilidade de que uma das faces obtidas tenha o número 1?
Solução
Conjunto universo é conforme a tabela abaixo e os campos em
amarelo são as possibilidades de ocorrer pelo menos uma face 1. E vamos chamar de evento A as possibilidades
de uma das faces tenha o número 1.
Logo, n(S) = 36 e
n(A) = 11
Portanto,
Ex-02
No lançamento de duas moedas
honestas qual a probabilidade de obtermos no mínimo uma cara?
Solução
Conjunto universo: {(cara,cara),(cara,
coroa),(coroa,cara),(coroa,coroa)} → n(S) = 4.
Evento A: ocorre no mínimo 1 cara: {(cara,cara),(cara,
coroa),(coroa,cara)} → n(A) = 3
Portanto,
Ex-03
Um projeto do governo vai ser
votado no Senado, onde existem 30 governistas e 20 oposicionistas. Se
decidir-se fazer uma votação simbólica, sorteando 5 senadores e deixando a seu
cargo a decisão, qual a probabilidade do projeto ser aprovado?
Solução
Assumindo que não haja traidores.
Para o governo aprovar o projeto, devemos ter as seguintes
composições, como resultado do sorteio de 5 senadores. O número de senadores governistas deve
superar dos senadores oposicionistas.
1ª situação): (Gv) (Gv) (Gv) (Op) (Op)
2ª situação): (Gv) (Gv) (Gv) (Gv) (Op)
3ª situação): (Gv) (Gv) (Gv) (Gv) (Gv)
A quantidade de todas as combinações possíveis para este
grupo de 5 senadores: (combinação de 50 (=30+20) senadores, 5 a 5): C50,5
A probabilidade de ocorrer a 1ª situação:
- para governistas: C30,3
- para oposicionistas: C20,2
Portanto
A probabilidade de acontecer a 1ª situação:
A probabilidade de acontecer a 2ª situação:
A probabilidade de acontecer a 3ª situação:
Finalmente, a probabilidade para que o projeto seja
aprovado:
Ex-04
Um grupo de turistas apresenta a
seguinte composição:
Sorteando-se uma pessoa do grupo,
pede-se:
a)
Se for criança, qual a
probabilidade de ser uruguaio?
b)
Se for argentino, qual
é a probabilidade de ser mulher?
Solução
É uma aplicação de probabilidade condicional:
a) A probabilidade de ser uruguaio, sendo que é
criança é:
b) A probabilidade de ser mulher, sendo que é
argentino é:
Ex-05
Uma urna contém 3
bolas vermelhas e 5 azuis; outra urna possui 2 vermelhas e 3 azuis. Passa-se
uma bola da primeira para a segunda urna e retira-se uma bola da segunda
urna. Qual a probabilidade de que a bola
sorteada seja vermelha?
Solução
Envolve dois eventos mutuamente exclusivos:
- Ou a bola transferida é vermelha, ou a bola transferida é
azul.
1ª possibilidade: a bola transferida é vermelha (V):
A probabilidade de que a bola transferida seja vermelha (V)
é:
(3 bolas vermelhas (V) em 8 bolas no total), portanto,
Portanto, a probabilidade que saia bola vermelha (V’) na 2ª
urna é:
(a 2ª urna agora possui 2 bolas vermelhas + 1 bola vermelha
transferida + 3 bolas azuis, portanto, 3 bolas vermelhas (V’) no total de 6
bolas)
Sabemos que (pela regra da probabilidade condicional):
2ª possibilidade: a bola transferida é azul (A):
A probabilidade de que a bola transferida seja azul (A) é:
(5 bolas azuis (A) em 8 bolas no total), portanto,
Portanto, a probabilidade que saia bola vermelha na 2ª urna
é:
(a 2ª urna agora possui 3 bolas azuis + 1 bola azul
transferida + 2 bolas vermelhas, portanto, 2 bolas vermelhas no total de 6
bolas)
Pela regra da probabilidade condicional, temos:
Finalmente tem-se:
Ex-06
De um baralho de 52 cartas
tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a
probabilidade dos eventos:
a)
As duas cartas são
“damas”;
b)
As duas cartas são de
“ouros”.
Solução:
a) Seja evento A: retirar duas cartas “damas”
sucessivas.
São
total de 4 “damas” no baralho de 52 cartas. Portanto, para que tenhamos, na primeira retirada, uma
carta “dama” a probabilidade é de 4/52,
e na segunda retirada, com a
condição de sem reposição, temos a probabilidade
de 3/51.
Portanto,
b) Seja evento B: retirar duas cartas de “ouro”
São
total de 13 cartas de “ouros” no baralho de 52 cartas. Então na primeira retirada, a probabilidade de
termos uma carta de “ouros” é 3/52 e como é sem reposição, a probabilidade de retirar a segunda carta, também de “ouros” é 12/51.
Portanto,
Ex-07
Qual a probabilidade de se jogar um
dado e se obter o número 3 ou um
número ímpar?
Solução
O espaço amostral é S={1,2,3,4,5,6} →
n(S) = 6
Seja evento A: obter o número 3, A={3} → n(A) = 1
Seja evento B: obter um número ímpar, B={1,3,5} → n(B) = 3
Como 3 é também um número ímpar, temos uma
intersecção, logo:
A∩B={3} →
n(A∩B) = 1
Portanto, temos que:
P(AUB)
= P(A) + P(B) – P(A∩B) = n(A)/n(S) +
n(B)/n(S) – n(A∩B)/n(S)
Outra maneira
de resolver o problema:
Seja o evento
de ocorrência de número 3 OU número impar, (como o número 3 é impar), é
C={1,3,5}, portanto, n(C) = 3.
E o espaço amostral é
S={1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6
Ex-08
Numa moeda viciada, a probabilidade
de ocorrer cara em um lançamento é igual a quatro
vezes a probabilidade de ocorrer coroa.
Calcular a probabilidade de ocorrer cara num lançamento dessa moeda.
Solução
Sejam os eventos A e B, sendo:
Evento A: ocorrer “cara”
Evento B: ocorrer “coroa”
Pelo enunciado: P(A) = 4*P(B)
Apesar de uma moeda viciada, porém, os eventos são
mutuamente exclusivos.
Então,
P(A) + P(B) = 1 →
4*P(B) + P(B) = 1 → 5*P(B) =
1 → P(B) = 1/5 → P(B) = 20%
A
probabilidade de ocorrer “cara”:
P(A) + P(B) = 1 →
P(A) + 1/5 = 1 → P(A)
= 1 – 1/5 = 4/5 →
→
P(A) = 0,8 → P(A) = 80%
Ex-09
Em uma prova caíram dois problemas
A e B. Sabe-se que 200 alunos acertaram A, 90 erraram B, 120 acertaram os dois
e 100 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno
escolhido ao acaso não tenha acertado nenhum problema?
Solução
Para visualizar melhor vamos colocar os dados informados no
desenho:
O retângulo representa o conjunto universo (=espaço
amostral)
Dois círculos que intersectam entre si no retângulo, que
representam os acertadores de A e acertadores de B e na intersecção acertaram A
e B.
Pelo enunciado:
- 120 acertaram A e B
- 200 acertaram A, então, (120 + x) = 200 → x = 80
- 100 acertaram apenas um problema, então acertaram (A ou B), logo 20 acertaram apenas B, pois (80 + y) = 100 → y = 20 acertaram apenas B.
- 90 erraram B, então 80 erraram B, pois acertou somente A e 10 não acertou A e B. (80 + 10) = 90
Pelo desenho temos que o conjunto universo é: 10 + 80 + 120
+ 20 = 230 alunos.
Os alunos que erraram A e B (=não acertaram A e B), ou que
não tenha acertado nenhum problema está fora dos círculos, então são 10.
Portanto, a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso
não tenha acertado nenhum problema é: p=10/230 = 1/23 → p ≈ 4,35%
Ex-10 (FUVEST)
Uma urna contém 3
bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se
a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se essa experiência mais duas
vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas?
Solução
V A B
▬ ▬ ▬
(temos permutação de 3 possibilidades)
E as retiradas possuem a mesma possibilidade, pois há
reposição; cada retirada tem-se probabilidade de 1/3, portanto,
Adorei o conteúdo, parabéns.
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