Matemática-2015: FUVEST-Análise Combinatória e Probabilidade-Ex.Resolvidos

EX-01 (FUVEST 2000)

Um investidor quer aplicar 120 mil reais. Seu corretor lhe oferece um investimento, em duas fases, com as seguintes regras:

Na 1ª fase do investimento, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade p, o investidor ganha metade do que investiu; com probabilidade (1-p), o investidor perde um terço do que investiu.
Na 2ª fase do investimento, a quantia final da 1ª fase será reinvestida, de forma independente da 1ª fase. Neste novo investimento, ocorrerá um dentre os dois eventos seguintes: com probabilidade 1/2, o investidor ganha a quarta parte do que foi reinvestido; com probabilidade 1/2, o investidor perde metade do que foi reinvestido.

a) Se o investidor aplicar seu dinheiro desta forma, com que valores pode ficar ao término do investimento? Qual a probabilidade, em função de p, de ficar com cada um desses valores?

b) Uma revista especializada informa que, neste investimento, a probabilidade de perder dinheiro é 70%. Admitindo como correta a informação da revista, calcule p.

Solução:

Fazendo a árvore de possibilidades, temos:

Obs.: A segunda fase é independente da primeira fase, portanto, permite colocar 1/2 e 1/2 diretamente. Os eventos A (=1ª fase) e B (=2ª fase) são independentes entre si; logo:

Respostas:

a) O investidor pode ficar com as seguintes situações:

1) R$ 225 000,00 [1/2_*p]

2) R$ 90 000,00 [1/2_*p]

3) R$ 100 000,00 [1/2_*(1-p)]

4) R$ 40 000,00 [1/2_*(1-p)]

b) Analisando as 4 possibilidades, o investidor só não perde na 1ª possibilidade. Como, conforme a revista, a probabilidade de perder é de 70%; logo a probabilidade de não perder é de 30% (que é complementar):

Outra maneira de resolver o item b.

A probabilidade de perder é igual a:

EX-02 (FUVEST 2001)

Um dado, cujas faces estão numeradas de um a seis, é dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja

a) par;

b) múltiplo de 10.

Solução:

a) Para que o produto seja par, basta que um dos fatores seja par. E para que o produto seja ímpar é preciso que os três números sejam ímpares.

Então, vamos calcular a probabilidade do produto seja par, aplicando o conceito de probabilidade complementar:

p(produto par) = 1 - p(produto ímpar)

Logo, a probabilidade do produto ser par é:

b) Para termos um produto que seja múltiplo de 10, basta ter, no mínimo, um 5 com um número par

Então, temos as seguintes possibilidades:

1) Primeira possibilidade, (probabilidade p₁):

2) Segunda possibilidade, (probabilidade p₂):

3) Terceira possibilidade, (probabilidade p₃):

Portanto, p(múltiplo de 10) = p₁ + p₂ + p₃

Portanto,

EX-03 (FUVEST 2002)

Um tabuleiro tem 4 linhas e 4 colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda (casa (1,1)) para a casa superior direita (casa (4,4)), sendo que esta peça deve mover-se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são: (1,1)→(1,2)→(2,2)→(2,3)→(3,3)→(3,4)→(4,4) e (1,1)→(2,1)→(2,2)→(3,2)→(4,2)→(4,3)→(4,4).

a) Por quantos caminhos distintos pode-se completar esse trajeto?

b) Suponha que o caminho a ser percorrido seja escolhido da seguinte forma: sempre que houver duas opções de movimento, lança-se uma moeda não viciada; se der cara, a peça move-se para a casa da direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá uma certa probabilidade de ser percorrido. Descreva os caminhos que tem maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade.

Solução:

Podemos observar na figura que: Qualquer caminho da casa (1,1) à casa (4,4) pode ser descrito por uma sequência de três “X” e três “Y”. Da mesma forma, qualquer permutação da sequencia XXXYYY vai corresponder a um caminho válido da casa (1,1) à casa (4,4).

Portanto, o número de caminhos distintos de casa (1,1) à casa (4,4) é igual ao número de permutações de XXXYYY:

A probabilidade de percorrer um caminho onde ocorra n lançamentos da moeda é:

Portanto, um caminho que envolva menos lançamentos de dados possui maior probabilidade de ser percorrido. A figura desenhada, mostra que os caminhos através de casas na borda superior e da borda direita (onde não se lança a moeda) são os (caminhos) que vão possui a maior probabilidade. E esses caminhos correspondem às sequências: XXXYYY e YYYXXX e cada um com probabilidade igual a:

EX-04 (FUVEST 2003)

Em uma equipe de basquete, a distribuição de idades dos seus jogadores é a seguinte:

Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de dois jogadores que representará a equipe junto aos dirigentes.

a) Quantas possibilidades distintas existem para formar esta comissão?

b) Qual a probabilidade da média de idade dos dois jogadores da comissão sorteada ser estritamente menor que a média de idade de todos os jogadores?

Solução:

a) Número total de jogadores é igual a 12, portanto, podemos ter combinação de 12, 2 a 2 possíveis comissões:

b) A média de todos os jogadores é:

Sejam A e B as idades dos 2 jogadores e vamos considerar que A≥B.

Logo, a média dessas idades é menor que a média das idades de todos os jogadores se, somente se,

Então, temos as seguintes possibilidades:

1) Ambos os jogadores possuem menos de 27 anos; ou

2) Um dos jogadores possui 29 anos, por exemplo, A=29; ou

3) Um dos jogadores possui 31 anos, por exemplo, A=31; ou

4) Um dos jogadores possui 32 anos, por exemplo, A=32.

Portanto,

1) A<27 ˄ B<27, então A+B<54,

Assim, pela tabela, tem-se: 1 jogador de 22 anos, 3 jogadores de 25 anos e 4 jogadores de 26 anos. Logo, temos 1+3+4=8 jogadores.

Então, podemos escolher da seguinte maneira um conjunto de 2 jogadores: combinando 8 jogadores 2 a 2.

2) A=29

Logo, devemos ter: A+B<54 ↔ 29+B<54 ↔ B<25.

Assim, pela tabela, temos: B=22 anos.

Portanto, há apenas 1 maneira de escolher 2 jogadores

3) A=31 (tem 2 jogadores com 31 anos)

Neste caso tem-se: A+B<54 ↔ 31+B<54 ↔ B<23

Pela tabela, temos: B=22 anos.

Portanto, há apenas 2 maneiras de escolher 2 jogadores

4) A=32

Para este caso tem-se: A+B<54 ↔ 32+B<54 ↔ B<22

O que é impossível.

Portanto, não há maneira de escolher 2 jogadores.

Logo a probabilidade procurada é:

EX-05 (FUVEST 2005)

Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos.

Solução:

São 4 lançamentos → Espaço Amostral é: 6_*6_*6_*6=6⁴ → n(E) = 1296

Sejam

X = evento – 2 primeiros lançamentos resultam em números iguais e

Y = evento – 2 primeiros lançamentos resultam em números diferentes.

Então, a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos 2 primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos 2 últimos lançamentos é:

EX-06 (FUVEST 2007)

Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine

a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.

b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor.

Solução:

O número de maneiras de retirar 3 bolas de uma urna contendo 8 bolas é:

Portanto, o espaço amostral é igual a: n(E)=56

a) Seja A o evento: retirar 2 bolas pretas e 1 bola branca da urna que contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas.

Então,

Logo, a probabilidade de que tenha sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca é:

b) “Sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor”, isto é, não seja BBB, ou PPP.

Então,

Já temos que n(A)=15, sendo A o evento de retirar 2 bolas pretas e 1bola branca.

Então, a probabilidade de ocorrência de A é:

EX-07 (FUVEST 2008)

Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado.

Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade de

a) Pedro vencer na primeira rodada;

b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada;

c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.

Solução:

Da figura:

1. Seja E o conjunto de todos os possíveis resultados de cada rodada, então o campo amostral é: n(E) = 36

2. Seja A o conjunto de todos os possíveis resultados com diferença entre os pontos serem, no mínimo, de 2 unidades, então tem-se: n(A) = 20.

3.Seja B o conjunto de todos os possíveis resultados com diferença inferior a 2 unidades, então tem-se: n(B) = 16

4.Seja P o conjunto de possíveis resultados que o Pedro vence na primeira rodada:

P = {(3,1), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)}

Logo, n(P) = 10

a) A probabilidade de Pedro vencer na primeira rodada é:

b) A probabilidade de não haver vencedor na primeira rodada é:

c) Se a probabilidade de não haver vencedor na primeira rodada é: p’=4/9, então, a probabilidade de haver vencedor é p’’=1- 4/9 = 5/9.

Portanto, a probabilidade de a disputa ser vencida na

1- primeira rodada = 5/9;

2 - segunda rodada = 4/9*5/9 = 20/81;

3 - terceira rodada = 4/9*4/9*5/9 = 80/729;

4 – quarta rodada = 4/9*4/9*4/9*5/9 = 320/6561

Logo, a probabilidade de um dos participantes vencer até a quarta rodada é:

EX-08 (FUVEST 2009)

Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.

a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?

b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?

c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas a Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

Solução:

a) O número de maneiras de escolher 10 garrafas do lote é:

Portanto, são possíveis 3003 maneiras

b) Escolher 10 garrafas aleatoriamente da seguinte maneira: 2 espanhol e 4 italiano e 4 francês.

Então, o número de maneiras possíveis é:

Portanto, são possíveis 450 maneiras

Calculando todas as possibilidades, temos:

Portanto, a probabilidade pedida é:

EX-09 (FUVEST 2010)

Seja um número inteiro, n≥0.

a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro e Luís.

b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem se distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.

c) Considere, agora, um número natural k tal que 0≤k≤n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.

Solução:

Sabendo-se que o número de soluções inteiros não negativas da equação linear com coeficientes unitários é:

Equação:

Número de soluções:

a) Calcular de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís (L) e Antônio (A) é mesma coisa que calcular o número de soluções da equação

Onde x_L e x_Asão as quantidades não-negativas de bolas ganhas e, respectivamente, pelo Luís e Antônio.

Então, o número de soluções inteiros não negativas da equação (1) é:

b) Adicionando o Pedro (P), temos a seguinte equação:

Então o número de soluções inteiras não negativas é dado por:

c) k ϵ N e 0 ≤ k ≤ n e k ≥ x_p

Então podemos escrever que y_p = x_p – k, sendo y_p é a quantidades de bolas a mais que k (bolas) que o Pedro ganhou.

De (2):

Portanto, o número de soluções inteiras não negativas é:

Logo, a probabilidade procurada é:

EX-10 (FUVEST 2011)

Para a prova de um concurso vestibular, oram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.

a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?

b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?

c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?

Solução:

a) Podemos permutar de 14! Maneiras diferentes.

Portanto, temos 14! Versões distintas de prova.

EX-11 (FUVEST 2012)

a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?

b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.

Solução:

b) São possíveis 2 possibilidades da disputa de final:

Pelo enunciado as semifinais são entre Maria x João e Marta x José:

1- As duas meninas ganham as semifinais:

2 – Ou, 1 menina e 1 menino são vencedores das semifinais:

Portanto, a probabilidade de menina ganhar o torneio é:

EX-12 (FUVEST 2013)

Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas.

1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa.

2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.

a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual á a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

Solução:

a) XANTIPA tira 5 e 5, então SÓCRATES deve obter pelo menos 2 seis:

b) XANTIPA tira 5 e 4, então SÓCRATES deve obter pelo menos 2 seis (item anterior), ou um único 6 e pelo menos um 5.

EX-13 (FUVEST 2014)

Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou-se uma balança de dois pratos. Verificou-se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:

(i) 16 bolas brancas idênticas as que estão no recipiente ou

(ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas as que estão no recipiente ou

(iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.

Sendo P_A, P_B e P_R, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine

(a) os quociente P_A/P_B e P_R/P_B;

(b) o número n_A de bolas azuis e o número n_B de bolas brancas no recipiente.

Solução:

Fazendo o desenho com as informações fornecidas, para melhor visualização:

Então, temos as seguintes igualdades:

Então, para k um número inteiro positivo podemos escrever que:

EX-14 (FUVEST 2015)

Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n≥1, é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e #**# é uma palavra de comprimento 4.

(a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?

(b) qual é o menor valor de n para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a n?

Solução:

a) As palavras com comprimento menor que 6, podem ter 1, 2, 3, 4 e 5 caracteres:

Portanto, podem ser formadas 62 palavras.

Menor N para formar 1.000.000 palavras de tamanho menor ou igual a N.

Logo, temos:

EX-15 (FUVEST 2016)

João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedros regulares: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João lança e verifica o número da face que ficou em contato com a mesa.

a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12?

b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5?

Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados.

c) Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?