Progressões Geométricas

Definição:

Progressão Geométrica (PG) é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante dada (=conhecida).

Assim, se a é o primeiro termo e a constante dada é q (chamada razão), podemos definir a PG pela seguinte fórmula de recorrência:

As progressões geométricas, quanto ao número de termos, podem ser:

a)    Finitas – (5, 10, 20)

b)    Infinitas – (√2, 2, 2√2, 4, ...)

As progressões geométricas formadas somente por números reais podem ser:

1) Crescentes (se cada termo é maior que o anterior) – exemplos: (1, 2, 4, 8, ...) e (-81, -27, -9, -3, ...).

Formalização:

2) Decrescentes (se cada termo é menor que o anterior) – exemplos: (4, 2, 1, 1/2, ...) e (-3, -6, -12, -24, ...).

Formalização:

3) Constantes (se cada termo é igual ao anterior) – exemplos: (3, 3, 3, 3, ...) e (-5, -5, -5, -5, ...).

Formalização:

4) Alternantes (se cada termo, a partir de a₂ , tem sinal contrario ao do termo anterior) – exemplos: (2, -6, 18, -54, ...) e (-1, 1, -1, 1, ...).

Formalização:

5) Singulares (quando zero é termo da PG) – exemplos: (5, 0, 0, 0, ...) e (-7, 0, 0, 0, ...).

Formalização:

Primeira propriedade:

Fórmula do termo geral

Teorema:

Na progressão geométrica em que o primeiro termo é a₁ e a razão é q, o enézimo termo é:

Interpolação Geométrica

Inserir (ou interpolar) k meios geométricos entre os números a e b significa obter a PG de (k + 2) termos de extremos a e b (onde a é o primeiro termo e o b é o último). Para realizar a interpolação basta, determinar qual é a razão da PG; então:

Exemplo:

Interpolar 6 meios geométricos entre 1 e 128.

Solução:

Logo,

PG: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)

              (6 meios)

Fórmula do Produto

Teorema:

Em toda progressão geométrica finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Demonstração:

Exemplo:

Teorema:

Em toda PG finita com números (2p+1) ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos:

Fórmula para calcular o produto dos primeiros n termos de uma PG.

Deduzindo a fórmula:

(Esta fórmula pode ser utilizada para calcular o produto dos n primeiros termos da PG).

Substituindo a_n aplicando a fórmula do termo geral temos:

 (Termo geral)

Outra maneira de chegar a mesma fórmula:

Teorema:

O produto dos n primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a₁ e cuja razão é q é

Obtendo o sinal de P_n:

1º.) 

Portanto, todos os termos da PG são positivos.

2º.)

Portanto, tem-se:

1)    P_n > 0 (se n é par)

2)    P_n < 0 (se n é impar)

3º.)

Portanto, a cada grupo de 4 termos consecutivos dá um produto parcial positivo.

Fórmula da Soma

Teorema:

A soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a₁ e cuja razão é q (q ≠ 1) é:

(q ≠ 1)

Demonstração

  

Corolário:

Observando que

então, temos:

(q ≠ 1)

Série Geométrica Infinita

Teorema:

A série geométrica infinita

Converge e sua soma é

Se a₁ = 0, a série converge e sua soma é zero.

Se │q│≥ 1 e a₁ ≠ 0, a série diverge.