Probabilidades-Ex.Resolvidos-1

Ex-01

Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Solução:

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Portanto,

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

Resposta:

A probabilidade de ser verde é 42%

Ex-02

Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:

a)     Sair bola azul.

b)     Sair bola vermelha.

c)      Sair bola amarela

Solução:

O espaço amostral é 20 elementos que corresponde à total de bolas.

a)     P(azul) = 6/20 = 0,30 = 30%

     

b)     P(vermelha) = 10/20 = 0,50 = 50%

c)      P(amarela) = 4/20 = 0,20 = 20%

Resposta:

As probabilidades são:  de sair azul é 30%; de sair vermelha é 50% e de sair amarela é 20%

Ex-03

Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

a)  Sair o número 3.

b)  Sair um número par.

c)  Sair um múltiplo de 3.

Solução:

Espaço amostra neste problema: 6 possibilidades.

a)     Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6; n(A) = 1

      Portanto,

      P(A) = n(A)/n(S) = 1/6 ≈ 0,17 = 17%

b)     Temos: n(S) = 6; A = {2, 4, 6} → n(A) = 3

      Portanto,

      P(A) = n(A)/n(S) = 3/6 = 0,50 = 50%

c)      Temos: n(S) = 6; A = {3, 6} → n(A) = 2

            Portanto,

            P(A) = n(A)/n(S) = 2/6 =1/3 ≈ 0,33 = 33%

Resposta:

As probabilidades são: de sair número 3 é 17%; de sair número par é 50% e de sair múltiplo de três é 33%

Ex-04

Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma dama?

Solução:

Um baralho tem 52 cartas, portanto, o espaço amostral é de 52 elementos: n(S) = 52

O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas, paus, espadas), portanto, n(A) = 4.

Logo,

P(A) = n(A)/n(S) = 4/52 = 1/13 ≈ 0,077 → P(A) = 7,7%

Resposta:

A probabilidade de ocorrer uma dama é 7,7%

Ex-05

Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

Solução:

Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.

Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

Resposta:

A probabilidade de 3 moedas caírem com a mesma face para cima é 25%.

Ex-06 (FUVEST)

Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas?

Solução:

1 verde, 1 azul, 1 branca (experiência com reposição para 3 retiradas), logo

n(S) = 3.3.3 = 27

Evento A: saírem três cores diferentes = permutação de 3 = 3! = 3_*2_*1 = 6

P(A) = 6/27 = 2/9  ≈ 0,22 = 22%

 

Resposta:

A probabilidade de serem três cores distintas é 22%

Ex-07

Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Solução:

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

Resposta:

A probabilidade de engravidar no 4º mês é 10,24%

Ex-08

Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

Solução:

Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

 

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5;

k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1;

p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4;

q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6;

Substituindo tais valores na fórmula temos:

Ex-09

Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

Solução:

Sabemos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula

e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.

O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14:

Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:

Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida.

Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:

O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral.

Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção.

Ex-10 (FUVEST)

Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é?

Solução:

Espaço amostral é a soma de todas as bolas: n(S) = 15.

Evento A: (sai bola azul) → n(A) = 3

Então, P(A) = n(A)/n(S) = 3/15

Evento B: (sai bola amarela) → n(B) = 2

Então, P(B) = n(B)/n(S) = 2/15

Portanto,

A probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é: P(AUB) = P(A) + P(B)

P(AUB) = P(A) + P(B) = 3/15 + 2/15 = 5/15 = 1/3 ≈ 0,33 = 33%

Resposta:

A probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é 33%

Ex-11

Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?

Solução:

A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2.

A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:

A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6  e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:

Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:

Ex-12

O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

Solução:

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:

A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:

B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo A∩B = {(4, 3)}

Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:

P(A) = n(A)/n(S) → P(A) = 7/28

P(B) = n(B)/n(S) → P(B) = 7/28

P(A∩B) = n(A∩B)/n(S) → P(A∩B) = 1/28

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:

Resposta:

A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28.

Ex-13

Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca?

Solução:

No evento E₁ a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16:

Como não há reposição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral diminui em uma unidade.

No evento E₂ a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 em 15:

No evento E₃ a probabilidade de tirarmos uma bola vermelha é de 4 em 14:

No evento E₄ a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13:

                    

Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas conforme as restrições do enunciado são:

Ex-14

Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

Solução:

Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.

Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula: P(A│B) = n(A∩B)/n(B)

Conforme o enunciado temos que: n(A∩B) = 200 e n(B) = 500, então:

P(A│B) = n(A∩B)/n(B) → P(A│B) = 200/500 → P(A│B) = 2/5

Notamos que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.

Ex-15

De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Solução:

Vamos representar por E₃ o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3:

E₃ = { 3, 6, 9, 12, 15 }

E por E₄ vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4:

E₄ = { 4, 8, 12 }

O espaço amostral é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:

Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E₃ quanto em E₄, ou seja:

                        

A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

Resposta:

A probabilidade da bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15.

Ex-16 (VUNESP)

Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retira-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100.

Solução:

Vamos determinar o espaço amostral:

Temos 100 cartões que devemos retirar 2 cartões ao acaso, então, temos combinação de 100 cartões 2 a 2.

Seja A o evento – soma dos 2 cartões é igual a 100.

Portanto,

Resposta:

A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100 é P(A) = 49/4950.

Ex-17 (FGV-SP)

Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7?

Solução:

O espaço amostral é igual a 1000 (=1000 bolinhas).

Seja A o evento (um múltiplo de 7).

Para calcular n(A), vamos, por exemplo, aplicar a fórmula geral da PA (progressão aritmética) onde a₁ = 7 (primeiro termo); r = 7 (razão) e a_m = inteiro(1000/7)*7 = 994 

Resposta:

A probabilidade de observamos um múltiplo de 7 é: P(A) = 71/500

Ex-18 (FUVEST)

Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiados?

Solução:

Seja S o espaço amostral do problema; temos combinação de 30 bilhetes 3 a 3 possibilidades (pois está comprando 3 bilhetes), no momento da compra, então: 

Seja o evento A: nenhum dos bilhetes é premiado.

Como dos 30 bilhetes 4 são premiados temos que 26 (=30 – 4) não são premiados logo:

Portanto, a probabilidade de nenhum ser premiado:

Resposta:

A probabilidade de nenhum deles ser premiados é P(A) = 130/203

Ex-19 (MACKENZIE)

Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo.

Solução:

O espaço amostral S deste problema é: S={1,2,3,5,6,19,15,30}, logo n(S) = 8

Seja o evento A: o número par: A={2,6,10,30}, logo n(A) = 4

Portanto,

P(A) = n(A)/n(S) = 4/8

Agora seja evento B: o número é primo: B={2,3,5}, logo n(B) = 3

Portanto,

P(B) = n(B)/n(S) = 3/8

Os eventos A e B possuem elemento comum: A∩B ={2}, logo n(A∩B) = 1

Portanto,

P(A∩B)=n(A∩B)/n(S) = 1/8

Então a probabilidade de que ele seja par ou primo é:

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 4/8 + 3/8 – 1/8 = 6/8 = 3/4

P(AUB) = 3/4 = 0,75 = 75%

Resposta:

A probabilidade de que ele seja par ou primo é 75%.

Ex-20 (UFBA)

Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela seja perfeita?

Solução:

O espaço amostral S: n(S) = 40

Seja evento A: Peças perfeitas e seja evento ~A: Peças defeituosas.

Resposta:

A probabilidade de que a peças seja perfeita é 85%.